Leetcode322. 零钱兑换

题目描述

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3 
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

示例 4：

输入：coins = [1], amount = 1
输出：1

示例 5：

输入：coins = [1], amount = 2
输出：2

提示：

• $1 \leq coins.length \leq 12$
• $1 \leq coins[i] \leq 2^{31} - 1$
• $0 \leq amount \leq 10^4$

解题思路

这道题无疑需要用动态规划的思想去做，问题是怎么实现。

方法一：记忆化搜索（自顶向下）

假设我们用函数f(x)来表示凑成金额x所需的最少硬币数，那么我们可以很容易地得出下述的一个公式：
$$
f(x)=min(f(x-coins[0]),f(x-coins[1]),\cdots,f(x-coins[coins.size()-1]))+1
$$
根据这个公式，我们已经可以写出递归暴力的方法了。然后我们用记忆化搜索的方法来优化一下，用一个dp数组来记录已经算出来的值来避免重复计算。

具体的算法细节见下述代码：

vector<int>dp;

int dfs(int amount,vector<int>& coins)
{
    if(amount<0) return -1;
    if(amount==0) return 0;
    if(dp[amount]!=0) return dp[amount];

    int minSum=INT32_MAX;
    for(int i=0;i<coins.size();++i)
    {
        int t=dfs(amount-coins[i],coins);
        if(t>=0&&t<minSum) minSum=t+1;
    }
    dp[amount]=minSum==INT32_MAX?-1:minSum;
    return dp[amount];
}

int coinChange(vector<int>& coins, int amount)
{
    if(amount<1) return 0;
    dp.resize(amount+1);
    return dfs(amount,coins);
}

时间复杂度：$O(Sn)$，其中 $S$ 是金额，$n$是面额数。

空间复杂度：$O(S)$，其中 $S$ 是金额。

方法二：动态规划（自底向上）

有了方法一中的公式，我们可以用动态规划的思想来实现它。

具体的实现细节见下述代码：

int coinChange(vector<int>& coins, int amount)
{
    if(amount<1) return 0;
    int maxSum=amount+2;
    vector<int>dp(amount+1,maxSum);
    dp[0]=0;
    for(int i=1;i<=amount;++i)
    {
        for(int j=0;j<coins.size();++j)
        {
            if(i>=coins[j])
            {
                dp[i]=min(dp[i],dp[i-coins[j]]+1);
            }
        }
    }
    return dp[amount]>amount?-1:dp[amount];
}

PS: 因为有对dp中元素加1的操作，如果将dp中元素初始化为INF32_MAX会发生溢出！

时间复杂度：$O(Sn)$，其中 $S$ 是金额，$n$是面额数。

空间复杂度：$O(S)$，其中 $S$ 是金额。

虽然两种方法的时空复杂度是一样的，但是记忆化搜索的方法运行更高效。