Leetcode322. 零钱兑换

2021年5月27日 280点热度 1人点赞 0条评论

题目描述

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额,返回 -1

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1:

输入:coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出:3 
解释:11 = 5 + 5 + 1

示例 2:

输入:coins = [2], amount = 3
输出:-1

示例 3:

输入:coins = [1], amount = 0
输出:0

示例 4:

输入:coins = [1], amount = 1
输出:1

示例 5:

输入:coins = [1], amount = 2
输出:2

提示:

  • $1 \leq coins.length \leq 12$
  • $1 \leq coins[i] \leq 2^{31} - 1$
  • $0 \leq amount \leq 10^4$

解题思路

这道题无疑需要用动态规划的思想去做,问题是怎么实现。

方法一:记忆化搜索(自顶向下)

假设我们用函数f(x)来表示凑成金额x所需的最少硬币数,那么我们可以很容易地得出下述的一个公式:
$$
f(x)=min(f(x-coins[0]),f(x-coins[1]),\cdots,f(x-coins[coins.size()-1]))+1
$$
根据这个公式,我们已经可以写出递归暴力的方法了。然后我们用记忆化搜索的方法来优化一下,用一个dp数组来记录已经算出来的值来避免重复计算。

具体的算法细节见下述代码:

vector<int>dp;

int dfs(int amount,vector<int>& coins)
{
    if(amount<0) return -1;
    if(amount==0) return 0;
    if(dp[amount]!=0) return dp[amount];

    int minSum=INT32_MAX;
    for(int i=0;i<coins.size();++i)
    {
        int t=dfs(amount-coins[i],coins);
        if(t>=0&&t<minSum) minSum=t+1;
    }
    dp[amount]=minSum==INT32_MAX?-1:minSum;
    return dp[amount];
}

int coinChange(vector<int>& coins, int amount)
{
    if(amount<1) return 0;
    dp.resize(amount+1);
    return dfs(amount,coins);
}

时间复杂度:$O(Sn)$,其中 $S$ 是金额,$n$是面额数。

空间复杂度:$O(S)$,其中 $S$ 是金额。

方法二:动态规划(自底向上)

有了方法一中的公式,我们可以用动态规划的思想来实现它。

具体的实现细节见下述代码:

int coinChange(vector<int>& coins, int amount)
{
    if(amount<1) return 0;
    int maxSum=amount+2;
    vector<int>dp(amount+1,maxSum);
    dp[0]=0;
    for(int i=1;i<=amount;++i)
    {
        for(int j=0;j<coins.size();++j)
        {
            if(i>=coins[j])
            {
                dp[i]=min(dp[i],dp[i-coins[j]]+1);
            }
        }
    }
    return dp[amount]>amount?-1:dp[amount];
}

PS: 因为有对dp中元素加1的操作,如果将dp中元素初始化为INF32_MAX会发生溢出!

时间复杂度:$O(Sn)$,其中 $S$ 是金额,$n$是面额数。

空间复杂度:$O(S)$,其中 $S$ 是金额。

虽然两种方法的时空复杂度是一样的,但是记忆化搜索的方法运行更高效。

agedcat_xuanzai

这个人很懒,什么都没留下

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