题目描述
给定不同面额的硬币 coins
和一个总金额 amount
。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额,返回 -1
。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
示例 1:
输入:coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出:3
解释:11 = 5 + 5 + 1
示例 2:
输入:coins = [2], amount = 3
输出:-1
示例 3:
输入:coins = [1], amount = 0
输出:0
示例 4:
输入:coins = [1], amount = 1
输出:1
示例 5:
输入:coins = [1], amount = 2
输出:2
提示:
- $1 \leq coins.length \leq 12$
- $1 \leq coins[i] \leq 2^{31} - 1$
- $0 \leq amount \leq 10^4$
解题思路
这道题无疑需要用动态规划的思想去做,问题是怎么实现。
方法一:记忆化搜索(自顶向下)
假设我们用函数f(x)
来表示凑成金额x
所需的最少硬币数,那么我们可以很容易地得出下述的一个公式:
$$
f(x)=min(f(x-coins[0]),f(x-coins[1]),\cdots,f(x-coins[coins.size()-1]))+1
$$
根据这个公式,我们已经可以写出递归暴力的方法了。然后我们用记忆化搜索的方法来优化一下,用一个dp
数组来记录已经算出来的值来避免重复计算。
具体的算法细节见下述代码:
vector<int>dp;
int dfs(int amount,vector<int>& coins)
{
if(amount<0) return -1;
if(amount==0) return 0;
if(dp[amount]!=0) return dp[amount];
int minSum=INT32_MAX;
for(int i=0;i<coins.size();++i)
{
int t=dfs(amount-coins[i],coins);
if(t>=0&&t<minSum) minSum=t+1;
}
dp[amount]=minSum==INT32_MAX?-1:minSum;
return dp[amount];
}
int coinChange(vector<int>& coins, int amount)
{
if(amount<1) return 0;
dp.resize(amount+1);
return dfs(amount,coins);
}
时间复杂度:$O(Sn)$,其中 $S$ 是金额,$n$是面额数。
空间复杂度:$O(S)$,其中 $S$ 是金额。
方法二:动态规划(自底向上)
有了方法一中的公式,我们可以用动态规划的思想来实现它。
具体的实现细节见下述代码:
int coinChange(vector<int>& coins, int amount)
{
if(amount<1) return 0;
int maxSum=amount+2;
vector<int>dp(amount+1,maxSum);
dp[0]=0;
for(int i=1;i<=amount;++i)
{
for(int j=0;j<coins.size();++j)
{
if(i>=coins[j])
{
dp[i]=min(dp[i],dp[i-coins[j]]+1);
}
}
}
return dp[amount]>amount?-1:dp[amount];
}
PS: 因为有对dp
中元素加1的操作,如果将dp
中元素初始化为INF32_MAX
会发生溢出!
时间复杂度:$O(Sn)$,其中 $S$ 是金额,$n$是面额数。
空间复杂度:$O(S)$,其中 $S$ 是金额。
虽然两种方法的时空复杂度是一样的,但是记忆化搜索的方法运行更高效。
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