Leetcode62. 不同路径

2021年5月17日 526点热度 1人点赞 0条评论

题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为 “Start” )。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为 “Finish” )。

问总共有多少条不同的路径?

示例 1:

img

输入:m = 3, n = 7
输出:28

示例 2:

输入:m = 3, n = 2
输出:3
解释:
从左上角开始,总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3:

输入:m = 7, n = 3
输出:28

示例 4:

输入:m = 3, n = 3
输出:6

提示:

  • 1 <= m, n <= 100
  • 题目数据保证答案小于等于 $2 \times 10^9$

解题思路

这道题第一反应就是先用动态规划试试,与最小路径和有些类似。

如果我们用$dp[i][j]$表示从左上角走到$(i,j)$的路径数量。由于每一步智能向下或者向右移动,所以要走到$(i,j)$位置上,要么从$(i-1,j)$位置上向下或者从$(i,j-1)$位置上向右,所以可以得到下述的转移方程:
$$
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1],\quad 1 \leq i < m;\\
dp[i][j]=1, \quad i \times j = 0;
$$
据此可以写出对应代码,具体细节见示例代码:

int uniquePaths(int m, int n)
{
    vector<vector<int>>dp(m,vector<int>(n,1));
    for(int i=1;i<m;++i)
    {
        for(int j=1;j<n;++j)
        {
            dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
        }
    }
    return dp[m-1][n-1];
}

时间复杂度:$O(m \times n)$

空间复杂度:$O(m \times n)$

PS:

这道题还可以用排列组合的知识解决,它的时空复杂度

agedcat_xuanzai

这个人很懒,什么都没留下

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